Université d'Angers	Epreuve de Mécanique des Fluides U.E. S6-PC2 Examen 2^e session Vendredi 2 septembre 2005	Année 2004-2005
		durée conseillée : 1h15
Licence mention Physique-Chimie		S. Chaussedent

La calculatrice et le formulaire sont autorisés

Problème 1 : Viscosimètre de Couette (barème indicatif : 7 pts)

Comme le schématise la figure ci-contre, on considère un dispositif constitué de deux cylindres coaxiaux de rayons r₀ < r₁. Le cylindre extérieur tourne à la vitesse angulaire w, alors que le cylindre central reste immobile. L’espace compris entre les deux cylindres est rempli d’un liquide incompressible dont on cherche à déterminer la viscosité µ.

On supposera par ailleurs que les cylindres sont de longueur infinie (pas d’effet de bord), que les effets de la pesanteur sont négligeables et que l’écoulement du liquide généré par l’entraînement du cylindre extérieur est un écoulement laminaire, stationnaire et conservatif.

1. Montrer qu’en tout point du liquide la vitesse est orthoradiale et n’est fonction que du rayon r (distance à l’axe), soit : .

2. A partir des projections de l’équation de Navier-Stokes, montrer que la pression ne dépend que de r et que la vitesse doit satisfaire à l’équation différentielle : .

3. Vérifier que est solution de l’équation différentielle et déterminer les constantes A et B en utilisant les conditions aux limites de l’écoulement.

4. Calculer la vitesse moyenne V de l’écoulement sur une section comprise entre r₀ et r₁.

5. Exprimer la contrainte de frottement du liquide sur le cylindre fixe. Par intégration sur toute la surface de contact, déterminer le couple de frottement par unité de hauteur s’exerçant sur le cylindre fixe.

6. Application numérique : on applique une vitesse de rotation w = 90 tour.min^-1 et on mesure un couple de frottement C_f = 0,4 N.m. Que vaut la viscosité du liquide si les dimensions du dispositif sont r₀ = 5 cm et r₁ = 5,02 cm ?

7. Evaluer numériquement la vitesse moyenne V et en déduire une valeur approximative du nombre de Reynolds Re de l’écoulement (on pourra considérer que le liquide présente une masse volumique voisine de celle de l’eau). L’hypothèse d’un écoulement laminaire est-elle justifiée ?

Problème 2 : Similitudes (barème indicatif : 3 pts)

Le problème précédent peut être analysé de façon simple en utilisant l’analyse dimensionnelle et la théorie des similitudes. Notamment, il est simple de déterminer la loi de variation du couple de frottement par unité de hauteur en fonction de la viscosité du fluide, de la vitesse de rotation du cylindre d’entraînement et des dimensions des deux cylindres.

1. Faire la liste des variables pertinentes pour la description du problème et donner les dimensions de chacune d’elle.

2. En déduire le nombre de produits P adimensionnels suffisants pour décrire le problème.

3. Déterminer ces produits P et exprimer une relation entre eux.

4. Pour un dispositif dont les dimensions et la vitesse de rotation sont invariants, comment varie le couple de frottement avec la viscosité ? Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au problème précédent ?