Université d'Angers	Epreuve de Mécanique des Fluides Examen Jeudi 10 février 2000	Année 1999-2000
		Durée : 2h30
Licence de Physique et Applications		S. Chaussedent

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Problème 1 : Voile de Flettner (barème indicatif : 8 pts)

Dans tout le problème, l'air pourra être considéré comme un fluide parfait incompressible. Les écoulements seront considérés stationnaires et plans (perpendiculaires à l'axe Oz).

1. Exprimer le potentiel complexe résultant de la superposition d'un écoulement uniforme de vitesse , et d'un dipôle de moment dipolaire p>0 centré à l'origine. En déduire la fonction de courant ainsi que le champ de vitesses dans le plan xOy.

2. Déterminer le (ou les) point(s) d'arrêt, et donner l'équation de la ligne de courant passant par ce(s) point(s) d'arrêt. Tracer cette ligne de courant. Expliquer pourquoi, si l'on remplace la surface délimitée par cette ligne de courant par un corps solide, l'écoulement n'est pas modifié. A quel système concret peut correspondre cette modélisation ?

3. Soit le moment dipolaire du dipôle modélisant la présence d'un cylindre de hauteur h, de rayon R, dont l'axe de symétrie est Oz, placé au sein d'un écoulement uniforme de vitesse . On se propose d'étudier l'écoulement résultant lorsque ce cylindre est en rotation à la vitesse angulaire autour de son axe de symétrie. La rotation de ce cylindre peut se modéliser au moyen d'un vortex de circulation . Exprimer la vitesse générée par ce vortex à la distance R de l'origine. En déduire l'expression de en fonction de R et .

4. Pour étudier l'écoulement du vent autour d'un mât de hauteur h, de rayon R, en rotation à la vitesse angulaire , on superpose les écoulements précédents : l'écoulement uniforme de vitesse modélisant le vent, le dipôle de moment p modélisant le mât, et le vortex de circulation modélisant sa rotation. Exprimer le potentiel complexe total en fonction de U, R et w.

5. Calculer la vitesse en tout point de la surface du mât. En déduire que le cercle centré à l'origine et de rayon R constitue une ligne de courant. A quelles conditions portant sur w existe-t-il un (ou des) point(s) d'arrêt à la surface du mât ?

6. En appliquant l'équation de Bernoulli entre un point situé loin du mât (où la pression vaut p₀ et la vitesse U) et un point d'arrêt sur la surface du mât, déterminer la pression au point d'arrêt. Toujours en appliquant l'équation de Bernoulli, en déduire la pression en tout point de la surface du mât.

7. Calculer la résultantedes forces de pression s'exerçant sur le mât de hauteur h. On donnera l'expression de sa composante F_x suivant x, et de sa composante F_y suivant y. Commenter le résultat obtenu pour F_x et déterminer la valeur de w donnant une force propulsive maximale dans la direction des y croissants.

Problème 2 : Traînée s'exercant sur un avion (barème indicatif : 6 pts)

On souhaite déterminer la force de traînée D exercée par l'écoulement de l'air sur un avion prototype d'aire frontale S, d'envergure l et susceptible de voler dans l'atmosphère à la vitesse V de 400 km.h^-1. Avant de construire le prototype, on réalise une maquette de l'avion afin de la tester en soufflerie, ce qui permettra la mesure expérimentale de la force de traînée D_m exercée par un écoulement de vitesse V_m dans la soufflerie. La maquette est construite à l'échelle a = 1/10 tout en respectant le facteur de forme, c'est-à-dire que l'on conserve . L'air sera toujours supposé incompressible.

1. Faire la liste des variables nécessaires à la description du système. Ecrire l'équation aux dimensions de chacune d'elles et en déduire le nombre de produits P sans dimension qui décrivent ce système. Déterminer chacun de ces produits P.

2. Donner une expression de la force de traînée D qui soit fonction du facteur de forme, du nombre de Reynolds, et fasse apparaître la masse volumique r de l'air, la vitesse V et, soit l'envergure l, soit l'aire frontale S (on supposera que la masse volumique et la viscosité de l'air sont les mêmes dans les conditions réelles et en soufflerie).

3. Quelle doit être la vitesse V_m de l'écoulement généré en soufflerie pour respecter la similitude hydrodynamique (ou similitude de Reynolds) ? Le facteur de forme étant également respecté, quelle relation simple obtient-on entre D et D_m ? La vitesse V_m est-elle compatible avec l'hypothèse d'un fluide incompressible ?

4. Compte tenu des conclusions de la question précédente, on peut contourner l'incompatibilité en jouant sur la masse volumique de l'air utilisé en soufflerie. Considérant l'air comme un gaz parfait, établir une relation entre la masse volumique r et la pression p. En déduire la pression qu'il est nécessaire de maintenir en soufflerie pour respecter la similitude hydrodynamique et se limiter à une vitesse V_m = V.

5. En déduire une nouvelle relation entre D et D_m. Si l'on mesure expérimentalement sur la maquette une force de traînée D_m = 4,5 N, quelle doit être la puissance minimale de propulsion développée par le moteur de l'avion prototype pour qu'il puisse voler dans l'atmosphère à la vitesse V = 400 km.h^-1 ?

Problème 3 : Ecoulement dans une conduite annulaire (barème indicatif : 6 pts)

On considère une conduite annulaire de rayons interne R₀ et externe R₁ dans laquelle s'écoule un fluide incompressible, non pesant, de viscosité µ. L'écoulement est supposé laminaire, stationnaire et s'effectue suivant l'axe de symétrie Oz de la conduite, dans la direction des z croissants, et dans le domaine R₀ < r < R₁.

1. En tenant compte de la symétrie du problème, des hypothèses établies concernant l'écoulement et de l'équation de continuité, montrer que la vitesse en un point de l'écoulement s'exprime comme .

2. Après avoir posé et simplifié les équations de Navier-Stokes, montrer que le gradient de pression est constant et déterminer le profil de vitesse en fonction de R₀, R₁, µ et du gradient de pression . Discuter le signe de g.