Université d'Angers
	DEUG STU2 – ST41 2001-2002	PHYSIQUE - TD 4
	S. Chaussedent	Ondes acoustiques dans un solide élastique

Exercice I

Une lame de céramique de masse volumique r a la forme d'un barreau cylindrique de section S et d'axe Ox le long duquel on étudie les petits mouvements de déformation en négligeant l'effet de la pesanteur. On notera U(x,t) le déplacement par rapport à la position d'équilibre (ou de repos) d'un plan d'abscisse x.

Dans le domaine d'élasticité du matériau, la force de traction F permettant à une lame de section S et de longueur L de s'allonger de dL est donnée par la loi de Hooke :

,

où E est une constante appelée module d'Young du matériau.

1. Calculer la variation relative d'épaisseur d'une tranche d'épaisseur dx au repos et en déduire la force de traction F(x,t) exercée par la partie droite de la lame sur la partie gauche (on orientera l'axe Ox de telle sorte que les x croissent vers la droite) en fonction de E, S et .

2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à une tranche de lame d'épaisseur dx et en déduire que U(x,t) vérifie une équation du mouvement de type corde vibrante ; préciser la vitesse de propagation v_l en fonction de r et E. On donne r = 3,4.10³ kg.m^-3 et E = 8.10¹⁰ N.m^-2. Calculer v_l ainsi que la longueur d'onde l dans le cas particulier d'une onde acoustique plane de fréquence f = 10 MHz.

3. Soit une portion de barreau d'épaisseur dx dont le déplacement moyen à l'instant t est noté U(x,t). Calculer la puissance par unité de surface P_s(x,t) traversant une section de la lame à l'abscisse x, de la gauche vers la droite.

4. L'intensité acoustique I_ac est définie par la valeur moyenne dans le temps de |P_s(x,t)|. Montrer que dans le cas d'une onde plane sinusoïdale de la forme

,

elle peut se mettre sous la forme

.

Calculer l'amplitude U₀ du déplacement sachant que l'onde acoustique transporte une puissance P = 50 W à travers une section de barreau S = 5 cm² (la fréquence de l'onde vaut toujours f = 10 MHz).

Exercice II

Un séisme est enregistré dans deux stations sismiques très proches. Dans chacune de ces stations, on mesure l'heure d'arrivée des ondes longitudinales P et celle des ondes transversales S. On admettra que le sol est constitué d'un même matériau homogène (ceci impliquant que les deux stations se trouvent proches de l'épicentre).

1. On donne les temps relevés sur les deux sismogrammes : t_1P = 01 h 28' 34,09'', t_1S = 01 h 28' 35,57'', t_2P = 01 h 28' 35,45'' et t_2S = 01 h 28' 37,90''. En déduire l'heure à laquelle s'est produit le séisme ainsi que le rapport des vitesses de propagation des ondes P et S.

2. On sait que dans la région où s'est produit ce séisme le sol est principalement composé de calcaire. Afin de connaître les propriétés de ce matériau, un expérimentateur se procure un barreau de calcaire, cylindrique, de diamètre 10 cm et de longueur 1 m. Il exerce, dans la direction de l'axe, une force de traction d'intensité 50 kN, et mesure un allongement de 0,16 mm. Quelle est la valeur du module d'Young E du calcaire ? En utilisant les résultats de la question précédente, déterminer la valeur du coefficient de Poisson s_P. Sachant que la densité du calcaire vaut 2, calculer la vitesse de propagation d'une onde longitudinale puis transversale (i) dans la barre de l'expérimentateur, (ii) dans le sol.

3. On sait que les deux stations sismiques sont distantes de 7,5 km. Quelles sont les différentes localisations possibles de l'épicentre ? De combien de stations sismiques faut-il disposer pour connaître précisément la position d'un épicentre ?